Dobânda compusă. Ce este. Introducere. Cum se calculează. Formulă. Exemple



Dobânda. Dobânda simplă și dobânda compusă. Diferențe.

  • În circulația banilor se obișnuiește ca pentru o sumă depusă sub formă de împrumut să se plătească o sumă majorată. Această majorare, numită dobândă, depinde de:
  • 1) durata perioadei cât a fost împrumutată suma
  • 2) mărimea sumei inițiale
  • 3) procentajul sau rata dobânzii
  • 4) frecvența de compunere a dobânzii.
  • Numărul 4 din lista de mai sus, frecvența de compunere a dobânzii, face și diferența între dobânda compusă și cea simplă.
  • 1. Dobânda simplă...

  • ... se calculează doar la finalul perioadei pentru care a fost împrumutată suma, ca un procentaj fix din suma împrumutată, suma acumulată ca dobândă nu se adaugă la suma ce produce dobânda.
  • 2. Dobânda compusă...

  • ... este calculată nu doar la finalul perioadei cât durează împrumutul, ci periodic, de-a lungul unor perioade mai mici, de exemplu zilnic, săptămânal, lunar, etc. Aceste perioade mai mici se numesc perioade de compunere a dobânzii compuse.
  • Frecvența de compunere a dobânzii ne arată cât de des se calculează dobânda compusă de-a lungul perioadei împrumutului. Dacă dobânda se calculează zilnic - înseamnă că avem o frecvență de compunere zilnică, iar despre dobândă se spune că e compusă zilnic. Dacă se calculează săptămânal - atunci avem o frecvență săptămânală, iar dobânda este compusă săptămânal. Și așa mai departe, lunar, trimestrial, semestrial, anual, etc.
  • Suma rezultată ca dobândă la finalul fiecărei astfel de perioade mai mici de compunere este adăugată imediat la suma împrumutată, astfel că la calculul dobânzii pentru următoarea perioadă de compunere contribuie și dobânda acumulată până la acel moment, și nu doar suma inițială, cum e în cazul dobânzii simple.
  • Se ajunge astfel ca în final și dobânda să genereze dobândă și nu doar suma împrumutată. Rezultă astfel că dobânda compusă va produce o sumă ceva mai mare sub formă de dobândă decât dobânda simplă.

Cum se calculează dobânda simplă?

  • 1. Dacă rata sau procentajul de dobândă este r% anual, înseamnă că pentru suma de S lei, într-un an, se plătește (r% din S) lei ca dobândă:
  • D1 = r% × S.
  • Suma totală acumulată după un an este:
  • A1 = S + D1 = S + r% × S = S × (1 + r%)
  • 2. Dacă perioada pentru care se calculează dobânda este de doi ani, dobânda cumulată este:
  • D2 = D1 + r% × S = r% × S + r% × S = 2 × r% × S.
  • Iar suma totală este:
  • A2 = S + D2 = S + 2 × r% × S = S × (1 + 2 × r%)
  • n. Dacă perioada pentru care se calculează dobânda simplă este de n ani, o depunere de S lei aduce la finalul a n ani o dobândă cumulată:
  • Dn = n × r% × S.
  • Iar suma totală este:
  • An = S + Dn = S + n × r% × S = S × (1 + n × r%).

Cum se calculează dobânda compusă?

  • Dacă rata sau procentajul de dobândă este r% anual, iar frecvența de compunere a dobânzii este anuală, însemnă că perioada de compunere este de un an, iar dobânda se calculează o dată pe an.
  • 1. Într-un an, pentru suma de S lei, se plătește (r% din S) lei ca dobândă:
  • D1 = r% × S
  • Suma totală acumulată după un an este:
  • A1 = S + D1 = S + r% × S = S × (1 + r%)
  • 2. După al doilea an, dobânda este:
  • D2 = r% × A1 = r% × S × (1 + r%)
  • Iar suma totală este:
  • A2 = A1 + D2 = S × (1 + r%) + r% × S × (1 + r%) = S × (1 + r%) × (1 + r%) = S × (1 + r%)2
  • 3. După trei ani, dobânda acumulată este:
  • D3 = r% × A2 = r% × S × (1 + r%)2
  • Iar suma totală este:
  • A3 = A2 + D3 = S × (1 + r%)2 + r% × S × (1 + r%)2 = S × (1 + r%) × (1 + r%)2 = S × (1 + r%)3
  • n. După al n-lea an, dobânda este:
  • Dn = r% × An-1 = r% × S × (1 + r%)n-1
  • Iar suma totală este:
  • An = An-1 + Dn = S × (1 + r%)n-1 + r% × S × (1 + r%)n-1 = S × (1 + r%) × (1 + r%)n-1 = S × (1 + r%)n

Formula dobânzii simple anuale:

  • D = n × r% × S

  • D = dobânda simplă încasată sau plătită după n ani
  • S = suma depusă sau împrumutată inițial
  • r% = rata sau procentajul dobânzii simple anuale
  • n = numărul de ani al depunerii sau împrumutului

Formula Valorii Viitoare a Investiției anuale, pentru un depozit ce produce dobândă compusă:

  • V = S × (1 + r%)n

  • V = valoarea viitoare a investiției încasate sau plătite după n ani
  • S = suma depusă sau împrumutată inițial
  • r% = rata sau procentajul dobânzii compuse anuale
  • n = numărul de ani al depunerii sau împrumutului

Formula Dobânzii Compuse anuale:

  • C = V - S

  • C = valoarea dobânzii compuse
  • V = valoarea viitoare a investiției încasate sau plătite după n ani
  • S = suma depusă sau împrumutată inițial

Exemplu de aplicare a formulei dobânzii simple:

  • Ce dobândă simplă D aduce în n = 5 ani suma de S = 20.000 de lei dacă procentajul dobânzii simple anuale este de r% = 3,5%?
  • Răspuns:
  • D = n × r% × S = 5 × 3,5% × 20.000 = 5 × (3,5 : 100) × 20.000 = 1.000 × 3,5 = 3.500 lei

Exemplu de aplicare a formulei Valorii Viitoare a investiției. Calcul Dobândă Compusă:

  • Ce dobândă compusă C aduce în n = 5 ani suma de S = 20.000 de lei dacă rata dobânzii compuse anuale este r% = 3,5%?
  • Răspuns:
  • V = S × (1 + r%)n = 20.000 × (1 + 3,5%)5 = 20.000 × (1 + 3,5 : 100)5 = 20.000 × (1 + 0,035)5 = 20.000 × 1,0355 = 20.000 × 1,187686305647 = 23.753,7261129375 ≈ 23.753,73 lei.
  • C = V - S = 23.753,73 - 20.000 = 3.753,73 lei.

Ce tip de dobândă generează sume mai mari? Cea simplă sau cea compusă?

  • Se poate observa cu ușurință, pentru seturile de date identice de mai sus, cu același S = 20.000 lei, r% = 3,5% și n = 5 ani, diferența dintre dobânda compusă, C, și dobânda simplă, D, este:
  • C - D = 3.753,73 - 3.500 = 253,73 lei.
  • Dobânda compusă generează cu 253,73 lei mai mulți bani decât dobânda simplă.